TALLER  GUIA DE TRIGONOMETRIA   

Objetivo:  Solucionar problemas, basados en las propiedades de los triangulos, aplicando modelos matemáticos escpecíficos para cada caso.

Aplicar propiedades matemáticas y algebraicas en la demostración de Identidades trigonometricas.

E.1  Como se ve en la figura 4.8.36, dos estaciones rastreadoras S1  y S2 avistan un globo metrereológico entre ellas, con los ángulos respectivos de elevación α  y  β. Exprese la altura h del globo en función  de  α  y  β, y la distancia c entre las estaciones rastreadoras. Suponga que ^{esas estaciones} y el globo están en el mismo plano vertical.

E.2   Un coche en una carrera de “ cajas de jabón” rueda cuesta abajo. Con la información de la figura 4.8.37 calcule la distancia total d₁ + d₂  que recorre la caja de jabón.

E.3  Un telescopio rastreador, que está a 1,25 Km del punto de lanzamiento de un cohete, da seguimiento a un cohete que asciende verticalmente. Exprese la altura h del cohete en unción del ángulo de elevación q.

E.4 Un faro está a media milla frente a la costa, e ilumina un punto P de la costa. Exprese la distancia d del faro hasta el punto iluminado P en función del ángulo q, como se ve en la figura. 

E.5  Una estatua se coloca sobre un pedestal como se ve en la figura 4.8.39. Exprese el ángulo de la visual q en función de la distancia x al pedestal.

E.6  Una mujer en una isla desea llegar a un punto R, sobre una costa recta, desde un punto P en la isla. El punto P está a 9 millas de la costa y a 15 millas del punto R. Vea la figura 4.8.40. Si la mujer rema en un bote, a 3 mi/h hacia un punto Q en tierra y después camina el resto sobre la costa, a 5 mi/h, exprese el tiempo total que tarda la mujer en llegar al punto R, en función del ángulo indicado q.

E.7  Un edificio está al lado de una colina que baja formando un ángulo de 15º . el sol está sobre la colina, y desde el edificio tiene un ángulo de elevación de 42º . Calcular la altura del edificio, si su sombra mide 36 pies de longitud.

E.8  Unos observadores en dos pueblos A y B, a cada lado de la montaña de 12000 pies de altura, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cumbre de la montaña. Figura 4.8.28. Suponiendo que los pueblos y la cumbre de la montaña están en el mismo plano vertical, calcule la distancia entre ellos.

E.9  Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas  que forman entre  si  un ángulo de  80º. Si las velocidades son de 60km/h y 100 km/h, ¿Qué distancia los separa después de hora y media de recorrido?

E.10   Dos ciclistas viajan por dos carreteras recta que forman un ángulo de 75.4º y que comienzan en una estación. Si las velocidades son 15km/h y 22km/h, ¿qué distancia los separa media hora después si partieron al mismo tiempo de la estación?

E.11  Un barco navega 40km entre las ciudades A y B, con rumbo 65º nor-occidente. Desde la ciudad B se dirige a otra ciudad C con rumbo 30º  Noreste distante 250km, como muestra la figura. Calcula la distancia entre las ciudades A y C y el rumbo que debe tomar el barco si el regreso lo hace directo entre las ciudades.

E.12   Encuentro el valor de x en cada figura dada.

E.13   Con base en la figura y en los datos dados en cada literal, calcula los demás elementos del triángulo.

E.14. Una  torre  inclinada 10º de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º. Calcula la longitud del cable y la altura de la torre.

E.15. Una  torre  inclinada 10º de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º. Calcula la longitud del cable y la altura de la torre.

  

1  E. 16   Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100 m de ella. Si el ángulo medido es de 20° y la torre forma un ángulo de 68° con el suelo, determina su altura AB.

E   E.17.   Un árbol es observado por dos puntos opuestos, separados 250 metros con ángulos de elevación de 30º y 25º. ¿Cuál es la altura del árbol y a qué distancia está la cúspide de cada punto de observación?

E.18.    Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas  que forman entre  si  un ángulo de  80º. Si las velocidades son de 60km/h y 100 km/h, ¿Qué distancia los separa después de hora y media de recorrido?

       E.19  Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

      E.20   El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m. 

           

         Identidades trigonometricas

        De  ángulos  Dobles

        cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena= =cos²a-sen²a

     sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a

       

        Hallar  Tag(2a).

         Angulos  Medios 

  

           Sabemos que cos2x = cos²x-sen²x = 2cos²x -1 = 1-sen²x y despejando el sen²x y el cos²x, obtenemos: 

cos2x= 1+cos(2x) 2

y 

sen2x= 1-cos(2x) 2

Si hacemos 2x=t, tendremos: 

y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.

Análogamente:

Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dos anteriores: 

    Ejercicios

    

    1.       Efectúa las siguientes operaciones

  

2.  Verificar si las siguientes igualdades son o no identidades:

i

        Ejercicios Suplementarios:

      E.1    Hallar la altura de los árboles:

        

   

E.2     Busca la medida de los lados y los ángulos que hacen falta E.3   ¿Cuál es el ángulo que debe formar un techo, con la horizontal, si las vigas que lo contienen tienen una longitud de 5m y el pilote central de 0,6m y cuál l longitud de la viga horizontal?

      

  

   

E.4.   En un triángulo rectángulo, la hipotenusa vale 25 unidades y un cateto es 5 unidades mayor que el otro.      Halla las funciones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto mayor.

E.5.     En un triángulo rectángulo la hipotenusa es 2 unidades mayor que un cateto. Halla lasa funciones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto mayor, sabiendo que la cosecante del ángulo opuesto al cateto menor es 5/3.

E.6.     Un topógrafo desea medir la altura de una torre situada en la ribera opuesta  de un río sin necesidad de atravesarlo. Para tal fin, coloca un teodolito en cierto punto P, de tal manera que la horizontal coincide con el pie de la torre y mide un ángulo de elevación de 20 grados. Camina 65 metros en línea recta hacia el pie de la torre y haciendo coincidir nuevamente la horizontal con dicho pie, mide un ángulo de elevación de 30 grados. Cual es la altura de la torre

E.7.  Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 20 cm y los ángulos iguales formados por    cada uno de estos lados y la base miden 30 grados. Resuelve el triángulo.

E.8.   La base de un triángulo isósceles es de 35 cm de longitud y el ángulo en el vértice opuesto a la base es  de 75 grados. Resolver el triángulo.

E.9.   La base de un triángulo isósceles tiene una longitud de 200 metros y su altura mide 120 cm. Resolver el    triángulo.

E.10.   Determinar la longitud de la altura de un triángulo isósceles si su base mide 30 cm y los ángulos que        forman los lados iguales con la base son de 36 grados 25 minutos cada uno.

E.11.    Un camino tiene una inclinación de 12 grados con respecto a la horizontal. Cuanto se debe caminar hacia     arriba para alcanzar una altura de 40 metros.

E.12.  Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hilos de alambre. Si la diagonal    mayor de dicha figura tiene una longitud de 230 metros y forma con los lados adyacentes ángulos de 38 y 40 grados . Que cantidad de alambre se necesitara para dicha labor ?

E.13.  Si Sen(a) = 1/ 2, determine el valor de las demás funciones trigonométricas.

E.14   El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse se desplaza 12° a cada lado de la vertical. ¿ Cuál es la  longitud del arco que describe?

E.15  Para ir de la ciudad  A  a la ciudad  B es necesario viajar 60 Km al este y 25 km en la dirección norte 23° 30¢ este. Qué distancia separa a las poblaciones ?

E.16.  La base de una torre tiene un ángulo de elevación de 30° respecto a un observador situado a 200 m, cuesta abajo de la base. Dicho observador se da cuenta que una sección de la torre se necesita reparación. Si los ángulos de elevación a los extremos de la sección dañada son 48°  y 60°, halle la longitud de la sección  por reparar.

Verificar si los siguientes enunciados corresponden o no a identidades trigonométricas:

Preparado Por:

Pedro P. Buitrago R.

Lic. Matemáticas y Física

Esp. Computación para la docencia

        

En el siguiente Enlace puede acceder a los talleres originales y a PDF de identidades.Enlace