domingo, 4 de mayo de 2014
TALLER GUIA DE TRIGONOMETRIA
Objetivo: Solucionar problemas, basados en las propiedades de los triangulos, aplicando modelos matemáticos escpecíficos para cada caso.
Aplicar propiedades matemáticas y algebraicas en la demostración de Identidades trigonometricas.
E.1 Como se ve en la figura 4.8.36, dos
estaciones rastreadoras S1 y S2 avistan
un globo metrereológico entre ellas, con los ángulos respectivos de elevación
α y
β. Exprese la altura h del globo en función de
α y β, y la distancia c entre las estaciones
rastreadoras. Suponga que esas estaciones y el globo están en el
mismo plano vertical.
E.2 Un coche en una carrera de “ cajas de jabón”
rueda cuesta abajo. Con la información de la figura 4.8.37 calcule la distancia
total d1 + d2 que
recorre la caja de jabón.
E.3 Un telescopio rastreador, que está a 1,25 Km
del punto de lanzamiento de un cohete, da seguimiento a un cohete que asciende
verticalmente. Exprese la altura h del cohete en unción del ángulo de elevación
q.
E.4 Un faro está a media milla frente a la
costa, e ilumina un punto P de la costa. Exprese la distancia d del faro hasta
el punto iluminado P en función del ángulo q, como se ve en la figura.
E.5
Una estatua se coloca sobre un pedestal como se ve en la figura 4.8.39.
Exprese el ángulo de la visual q en función de la distancia x al pedestal.
E.6
Una mujer en una isla desea llegar a un punto R, sobre una costa recta,
desde un punto P en la isla. El punto P está a 9 millas de la costa y a 15
millas del punto R. Vea la figura 4.8.40. Si la mujer rema en un bote, a 3 mi/h
hacia un punto Q en tierra y después camina el resto sobre la costa, a 5 mi/h,
exprese el tiempo total que tarda la mujer en llegar al punto R, en función del
ángulo indicado q.
E.7 Un edificio está al lado de una colina que
baja formando un ángulo de 15º . el sol está sobre la colina, y desde el
edificio tiene un ángulo de elevación de 42º . Calcular la altura del edificio,
si su sombra mide 36 pies de longitud.
E.8 Unos observadores en dos pueblos A y B, a
cada lado de la montaña de 12000 pies de altura, miden los ángulos de elevación
entre el suelo y la cumbre de la montaña. Figura 4.8.28. Suponiendo que los
pueblos y la cumbre de la montaña están en el mismo plano vertical, calcule la
distancia entre ellos.
E.9 Dos autos
parten de una estación y siguen por carreteras distintas que forman entre si un
ángulo de 80º. Si las velocidades son de
60km/h y 100 km/h, ¿Qué distancia los separa después de hora y media de
recorrido?
E.10
Dos ciclistas viajan por dos carreteras recta que forman un ángulo de
75.4º y que comienzan en una estación. Si las velocidades son 15km/h y 22km/h,
¿qué distancia los separa media hora después si partieron al mismo tiempo de la
estación?
E.11 Un barco navega 40km entre las ciudades A y B, con rumbo 65º nor-occidente.
Desde la ciudad B se dirige a otra ciudad C con rumbo 30º Noreste distante 250km, como muestra la
figura. Calcula la distancia entre las ciudades A y C y el rumbo que debe tomar
el barco si el regreso lo hace directo entre las ciudades.
E.12 Encuentro el valor de x en cada figura dada.
E.13
Con base en la figura y en los datos dados en cada literal, calcula los
demás elementos del triángulo.
E.14. Una
torre inclinada 10º de la
vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de
la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º. Calcula la longitud
del cable y la altura de la torre.
E.15. Una
torre inclinada 10º de la
vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de
la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º. Calcula la longitud
del cable y la altura de la torre.
1 E. 16 Un hombre mide el ángulo de elevación de una
torre desde un punto situado a 100 m de ella. Si el ángulo medido es de 20° y
la torre forma un ángulo de 68° con el suelo, determina su altura AB.
E E.17. Un árbol es
observado por dos puntos opuestos, separados 250 metros con ángulos de
elevación de 30º y 25º. ¿Cuál es la altura del árbol y a qué distancia está la
cúspide de cada punto de observación?
E.18. Dos autos parten de
una estación y siguen por carreteras distintas
que forman entre si un ángulo de
80º. Si las velocidades son de 60km/h y 100 km/h, ¿Qué distancia los
separa después de hora y media de recorrido?
E.19 Las diagonales de
un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'.
Calcular los lados.
E.20 El radio de una circunferencia mide 25 m.
Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por
los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Identidades trigonometricas
De ángulos Dobles
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena= =cos2a-sen2a
sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
Hallar Tag(2a).
Angulos Medios
Sabemos que cos2x = cos2x-sen2x = 2cos2x -1 = 1-sen2x y despejando el sen2x y el cos2x, obtenemos:
|
y
|
Si hacemos 2x=t, tendremos:
y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.
Análogamente:
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dos anteriores:
Ejercicios
1. Efectúa las siguientes operaciones
2. Verificar si las siguientes igualdades son o no identidades:
i
Ejercicios Suplementarios:
E.1 Hallar la altura de los árboles:
|
E.4. En un triángulo
rectángulo, la hipotenusa vale 25 unidades y un cateto es 5 unidades mayor que
el otro. Halla las funciones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto mayor.
E.5.
En un triángulo
rectángulo la hipotenusa es 2 unidades mayor que un cateto. Halla lasa
funciones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto mayor, sabiendo que la
cosecante del ángulo opuesto al cateto menor es 5/3.
E.6.
Un topógrafo desea
medir la altura de una torre situada en la ribera opuesta de un río sin necesidad de atravesarlo. Para
tal fin, coloca un teodolito en cierto punto P, de tal manera que la horizontal
coincide con el pie de la torre y mide un ángulo de elevación de 20 grados.
Camina 65 metros en línea recta hacia el pie de la torre y haciendo coincidir
nuevamente la horizontal con dicho pie, mide un ángulo de elevación de 30
grados. Cual es la altura de la torre
E.7. Los lados iguales
de un triángulo isósceles miden cada uno 20 cm y los ángulos iguales formados
por cada uno de estos lados y la base miden 30 grados. Resuelve el triángulo.
E.8. La base de un
triángulo isósceles es de 35 cm de longitud y el ángulo en el vértice opuesto a
la base es de 75 grados. Resolver el triángulo.
E.9. La base de un triángulo
isósceles tiene una longitud de 200 metros y su altura mide 120 cm. Resolver el triángulo.
E.10. Determinar la
longitud de la altura de un triángulo isósceles si su base mide 30 cm y los
ángulos que forman los lados iguales con la base son de 36 grados 25 minutos
cada uno.
E.11. Un camino tiene una
inclinación de 12 grados con respecto a la horizontal. Cuanto se debe caminar
hacia arriba para alcanzar una altura de 40 metros.
E.12. Se desea cercar un
terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hilos de alambre. Si la
diagonal mayor de dicha figura tiene una longitud de 230 metros y forma con los
lados adyacentes ángulos de 38 y 40 grados . Que cantidad de alambre se
necesitara para dicha labor ?
E.14 El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse
se desplaza 12° a cada lado de la vertical. ¿ Cuál es la longitud
del arco que describe?
E.15 Para ir de la
ciudad A
a la ciudad B es necesario viajar
60 Km al este y 25 km en la dirección norte 23° 30¢ este. Qué distancia separa a las poblaciones ?
E.16. La base de una
torre tiene un ángulo de elevación de 30° respecto a un observador situado a 200 m, cuesta abajo de la base.
Dicho observador se da cuenta que una sección de la torre se necesita
reparación. Si los ángulos de elevación a los extremos de la sección dañada son
48° y 60°, halle la longitud de la sección por reparar.
Verificar si los siguientes enunciados corresponden o no a identidades trigonométricas:
Preparado Por:
Pedro P. Buitrago R.
Lic. Matemáticas y Física
Esp. Computación para la docencia
En el siguiente Enlace puede acceder a los talleres originales y a PDF de identidades.Enlace
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